Ecuaciones Diferenciales en MATLAB®

MATLAB® ofrece varios algoritmos numéricos para resolver una extensa variedad de ecuaciones diferenciales. Esta demostración enseña la formulación y solución para tres tipos distintos de ecuaciones diferenciales usando MATLAB.

Contenidos

• El Problema del Valor Inicial
• Problemas de Valor Límite
• Ecuaciones Diferenciales Parciales

El Problema del Valor Inicial

VANDERPOLDEMO es una función que define la ecuación Van Der Pol.

type vanderpoldemo

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

La ecuación se escribe como un sistema de dos funciones ODE de primer orden. Estas son evaluadas para distintos valores del parámetro Mu. Para una integración más rápida, elegimos un método de solución basado en el valor del parámetro Mu. 

Para Mu = 1, culaquiera de los métodos de solución ODE MATLAB pueden resolver la ecuación Van der Pol eficientemente. el método de solución ODE45 usado a continuación es un ejemplo. La ecuación es resuelta en el dominio [0, 20].

tspan = [0, 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);

% Gráfico de la solución
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('Solución y')
title('Ecuación van der Pol, \mu = 1')

Para magnitudes más grandes de Mu, el problema se vuelve más rígido. Métodos numéricos especiales son necesarios para una integracion rápida. ODE15S, ODE23S, ODE23T, y ODE23TB pueden resolver problemas rígidos eficientemente.

Aquí hay una solución a la ecuación van der Pol para Mu = 1000 usando ODE15S.

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);

plot(t,y(:,1))
title('Ecuación van der Pol, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('Solución y')

Problemas de Valor Límite

BVP4C resuelve problemas de valor límite para ecuaciones diferenciales ordinarias.

La función de ejemplo TWOODE tiene una ecuación diferencial escrita como un sistema de dos ODE de primer orden.

type twoode

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

TWOBC tiene las condiciones de límite para TWOODE.

type twobc

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

Antes de utilizar BVP4C, tenemos que proporcioner una suposición para la solución que queremos representar en la malla. El método de solución entonces adapta la malla dado que refina la solución.

BVPINIT ensambla la suposición inicial en la forma que el método de solución BVP4C tendrá. Para una malla inicial de [0 1 2 3 4] y una suposición constante de y(x) = 1, y'(x) = 0, invocamos BVPINIT de este modo:

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

Con esta suposición inicial, podemos resolver el problema con BVP4C.

La solución sol (abajo) se evalua en los puntos xint usando DEVAL y graficando.

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);

xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:),'b');
xlabel('x')
ylabel('Solución y')
hold on

Este problema particular del valor límite tiene exactamente dos soluciones. La otra solución es obtenida para una suposición inicial de

   y(x) = -1, y'(x) = 0

y graficando como antes.

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:),'r');
hold off

Ecuaciones Diferenciales Parciales

PDEPE resuelve ecuaciones diferenciales parciales en una variable espacial y temporal.

Los ejemplos PDEX1, PDEX2, PDEX3, PDEX4, PDEX5 forman un mini-tutorial acerca del uso de PDEPE. Navegue a traves de esas funciones para más ejemplos.

este problema de ejemplo usa funciones PDEX1PDE, PDEX1IC, y PDEX1BC.

PDEX1PDE define la ecuación diferencial.

type pdex1pde

c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

PDEX1IC establece las condiciones iniciales.

type pdex1ic

u0 = sin(pi*x);

PDEX1BC establece las condiciones límite.

type pdex1bc

pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1; 

PDEPE requiere x, la discretización espacial, y t, un vector de tiempos en el que se solicita una instantánea de la solución. resolvemos este problema usando una malla de 20 nodos y solicitando la solución a cinco valores de t. finalmente, extraemos y graficamos el primer componente de la solución.

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);
u1 = sol(:,:,1);
surf(x,t,u1);
xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');
hold on

u1 = sol(:,:,1);

surf(x,t,u1);
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u');

Ver archivo .m [Ecuaciones Diferenciales en MATLAB]

Copyright 1984-2009 The MathWorks, Inc..
Published with MATLAB® 7.7

Traducción アタラクシア [Ataraxiainc]